הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 3

  האם קיים מרובע קמור שכל אחד מהאלכסונים שלו מחלק אותו לשני משולשים חדי זוויות?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 4

  הוכיחו כי אם `n!+1` מתחלק ב-`n+1`, אז `n+1` ראשוני.

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 3

  מספר פעמים ביממה מחוג השעות ומחוג הדקות נמצאים על ישר אחד ויוצרים זווית של `180^@`. האם בין כל הישרים האלה יש ישרים שמאונכים זה לזה?

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 4

  האם קיים מספר טבעי שאם נחלק אותו בסכום ספרותיו עם שארית, נקבל `2017` גם בתור מנה, גם בשארית?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• אורנים ביער רמת קושי: 2

  היַעֲרָן סופר אורנים ביער. הוא עשה הליכה לאורך כל אחד המעגלים שבתמונה, ובתוך כל מעגל הוא ספר `3` אורנים בדיוק. הוכיחו כי היערן בוודאות טעה בספירה.

  

  נושאים:

  תורת הקבוצות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 4

  במישור נתונים ריבוע ונקודה `P`. הוכיחו כי לא יתכן שהמרחקים מ-`P` עד הקודקוקים של הריבוע שווים `1`, `1`, `2` ו-`3` סנטימטרים?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון משולש

• שאלה: רמת קושי: 4

  נתונים שלושה מספרים ממשיים `a`, `b` ו-`c`. ידוע כי `a+b+c>0`, `ab+bc+ca>0` ו-`abc>0`. הוכיחו כי `a>0`, `b>0` ו-`c>0`.

  נושאים:

  אלגברה אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 4

  הארץ הקסומה מורכבת מ-`25` מחוזות. האם יתכן שכל מחוז גובל במספר אי זוגי של מחוזות אחרים?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> תורת הגרפים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 4

  נתונים שבעה מספרים שלמים `a_1,a_2,a_3,...,a_7`, ויהיו `b_1,b_2,b_3,...,b_7` אותם המספרים שרשומים בסדר אחר. הוכיחו כי המספר `(a_1-b_1)(a_2-b_2)*...*(a_7-b_7)` בהכרח זוגי.

  נושאים:

  תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 3

  ל-`21` ילדים יש סך הכל `200` אגוזים. הוכיחו כי קיימים שני ילדים שיש להם אותה כמות של אגוזים.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה בעיות מינימום ומקסימום