הוכחה בשלילה
-
שאלה: רמת קושי: 3
האם קיים מרובע קמור שכל אחד מהאלכסונים שלו מחלק אותו לשני משולשים חדי זוויות?
-
שאלה: רמת קושי: 4
הוכיחו כי אם `n!+1` מתחלק ב-`n+1`, אז `n+1` ראשוני.
-
שאלה: רמת קושי: 3
מספר פעמים ביממה מחוג השעות ומחוג הדקות נמצאים על ישר אחד ויוצרים זווית של `180^@`. האם בין כל הישרים האלה יש ישרים שמאונכים זה לזה?
נושאים:הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה -
שאלה: רמת קושי: 4
האם קיים מספר טבעי שאם נחלק אותו בסכום ספרותיו עם שארית, נקבל `2017` גם בתור מנה, גם בשארית?
נושאים:תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה -
אורנים ביער רמת קושי: 2
היַעֲרָן סופר אורנים ביער. הוא עשה הליכה לאורך כל אחד המעגלים שבתמונה, ובתוך כל מעגל הוא ספר `3` אורנים בדיוק. הוכיחו כי היערן בוודאות טעה בספירה.
-
שאלה: רמת קושי: 4
במישור נתונים ריבוע ונקודה `P`. הוכיחו כי לא יתכן שהמרחקים מ-`P` עד הקודקוקים של הריבוע שווים `1`, `1`, `2` ו-`3` סנטימטרים?
נושאים:גאומטריה -> גאומטריה במישור הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון משולש -
שאלה: רמת קושי: 4
נתונים שלושה מספרים ממשיים `a`, `b` ו-`c`. ידוע כי `a+b+c>0`, `ab+bc+ca>0` ו-`abc>0`. הוכיחו כי `a>0`, `b>0` ו-`c>0`.
-
שאלה: רמת קושי: 4
הארץ הקסומה מורכבת מ-`25` מחוזות. האם יתכן שכל מחוז גובל במספר אי זוגי של מחוזות אחרים?
נושאים:קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> תורת הגרפים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה -
שאלה: רמת קושי: 4
נתונים שבעה מספרים שלמים `a_1,a_2,a_3,...,a_7`, ויהיו `b_1,b_2,b_3,...,b_7` אותם המספרים שרשומים בסדר אחר. הוכיחו כי המספר `(a_1-b_1)(a_2-b_2)*...*(a_7-b_7)` בהכרח זוגי.
-
שאלה: רמת קושי: 3
ל-`21` ילדים יש סך הכל `200` אגוזים. הוכיחו כי קיימים שני ילדים שיש להם אותה כמות של אגוזים.