בניית דוגמה

• שאלה: רמת קושי: 1

  א. ברשותכם קנקן גדול של שמן זית של 12 ליטרים ושני ריקים כלים קטנים יותר, של 5 ושל 8 ליטרים. האם תוכלו לחלק את השמן שברשותכם לשני חלקים שווים, אם יש לכם רק את הכלים האלה ואין שום כלי מדידה נוספים?

  ב. אותה השאלה, אבל במקום הכל של 5 ליטרים יש כלי של 4 ליטרים.

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית -> אלגוריתם אוקלידס תורת המספרים -> התחלקות

• שאלה: רמת קושי: 1

  `120` כדורים זהים מונחים בצורה של פירמידה משולשת. כמה שכבות יש בפירמידה?

  הערה: מדובר בפירמידה, שהיא צורה תלת מימדית, ולא במשולש במישור.

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> השלימו\המשיכו סדרה תורת המספרים -> מספרים משולשיים

• שאלה: רמת קושי: 2

  מהו המספר המקסימלי של מלכי שח שניתן להציב על לוח `8xx8`, כך שהם לא יאיימו אחד על שני?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה

• שאלה: רמת קושי: 1

  מהו המספר המקסימלי של צריחי שח שניתן להציב על לוח `8xx8`, כך שהם לא יאיימו אחד על שני?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה

• שאלה: רמת קושי: 1

  לשלומי יש קופסה שטוחה בגודל `5xx5` סנטימטרים. שלומי טוען, שכל מלבן שאפשר לאחסן בקופסה הזאת, כל צלעותיו צריכות להיות קטנות מ-5 סנטימטרים. האם הוא צודק?

  נושאים:

  גאומטריה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס

• שאלה: רמת קושי: 2

  בארץ הקסומה יש רק שני סוגים של מטבעות: `16` ל"ק (לירות קסומות) ו-`27` ל"ק. האם ניתן לקנות מחברת שעולה לירה קסומה אחת ולקל עודף מדויק?

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית -> אלגוריתם אוקלידס תורת המספרים -> התחלקות

• שאלה: רמת קושי: 2

  נתונים `50` מספרים טבעיים שונים בין `1` ל-`100`. ידוע כי אין בינם שני מספרים שסכומם שווה ל-`100`. האם נכון שאחד מהמספרים האלה חייב להיות ריבוע שלם?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> התאמות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת הקבוצות

• שאלה: רמת קושי: 3

  מידי ערב יובל מסיים עבודה בזמן אקראי ומגיע לתחנת אוטובוס. בתחנה הזאת עוצרים שני אוטובוסים: מספר `7`, שנוסע לבית של יובל, ומספר `13`, שנוסע לבית של ידידו שלומי. יובל עולה על האוטובוס הראשון שמגיע וכתלות בכך נוסע לשלומי או הביתה.

  כעבור זמן מה יובל שם לב כי אחרי עבודה הוא נוסע לשלומי בערך פי שניים יותר מאשר הוא נוסע הביתה. הוא הסיק מזה שהאוטובוס מספר `13` מגיע בתדירות פי שניים גבוהה יותר מאוטובוס מספר `7`.

  האם יובל בהכרח צודק?

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת ההסתברות לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• שלושה אצנים רמת קושי: 3

  שלושה אצנים, א', ב' ו-ג', בצעו ריצת מאה מטר יחד מספר פעמים. השופט טוען כי א' הגיע לסוף המרוץ לפני ב' ביותר ממחצית הריצות, ב' הגיע לפני ג' ביותר ממחצית הריצות, ו-ג' הגיע לפני א' ביותר ממחצית הריצות.

  האם זה יתכן?

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• שאלה: רמת קושי: 4

  נתונה הסדרה `1 , 1/2 ,1/3 ,1/4 ,1/5,...`, האם קיימת סדרה חשבונית שמורכבת מאיברי הסדרה הנ"ל

  1. באורך 5

  2. בכל אורך

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית
  מקורות:
  • תחרות הערים גרסה עיקרית תשמ"ב (1981-1982) אביב