בניית דוגמה

• שאלה: רמת קושי: 2

  סכומם של כמה מספרים שווה ל-`1`. האם יתכן כי סכום הריבועים שלהם קטן מעשירית?

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אריתמטיקה -> שברים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• המשימה המתוחכמת רמת קושי: 2

  לחנה יש סלסלה בה `13` תפוחים. חנה רוצה לדעת את המשקל הכולל של כל התפוחים האלה. לרחל יש משקל דיגיטלי, והיא מוכנה לעזור לחנה, אבל רק בתנאים הבאים: בכל שקילה חנה יכולה לשקול בדיוק `2` תפוחים, והמספר של השקילות לא יכול לעבור את `8`.

  הסבירו כיצד בתנאים האלה חנה יכולה לדעת את המשקל הכולל של התפוחים.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה אלגברה -> משוואות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה: רמת קושי: 1

  נתון פולינום `P(n)=n^2+n+41`. האם נכון שהפולינום הזה מקבל ערכים ראשוניים לכל `n` טבעי?

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה: רמת קושי: 2

  חרגול יודע לקפוץ `80` סנטימטרים קדימה או `50` סנטימטרים אחורה. האם יכול החרגול להתרחק מהנקודה ההתחלתית תוך פחות מ-`7` קפיצות  למרחק של מטר אחד ו-`70` ס"מ בדיוק?

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> משפט השאריות הסיני הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים

• שאלה: רמת קושי: 4

  האם ניתן לחתוך משולש לארבע צורות קמורות הבאות: משולש, מרובע, מחומש ומשושה?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה

• שאלה: רמת קושי: 2

  נתון דף נייר בגודל `10×10` ס"מ. האם תוכלו לגזור מהדף הזה מספר עיגולים שסכום הקטרים שלהם יהיה גדול מ-`5` מטרים?

  נושאים:

  אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה

• שאלה:

  מישור נצבע בשני צבעים (כלומר, כל נקודת המישור נצבעה באחת משני הצבעים האלה). הוכיחו כי קיימות שתי נקודות במישור במרחק `1` כך ששתיהן באותו צבע.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה

• שאלה: רמת קושי: 2

  האם קיים מרובע שניתן לחיתוך ל-`6` חלקים על ידי שני חיתוכים ישרים? נמקו או הביאו דוגמה.

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה

• 9 קילו של אורז רמת קושי: 2

  ברשותכם `9` קילו של אורז. איך למדוד `2` קילו אורז באמצעות שלוש שקילות במאזני כך ושימוש בשתי משקולות: של `200` גרם ושל `50` גרם?

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת האלגוריתמים -> שקילות

• S_05_S_Y_3 רמת קושי: 4

  על דף משבצות נתון ריבוע בגודל `NxxN`. נתבנן במסגרת שלו בעובי של משבצת אחת. היא מורכבת מ-`4*(N-1)` משבצות.

  האם תוכלו לרשום במשבצות של המסגרת `4*(N-1)` מספרים שלמים עוקבים (לא בהכרח חיוביים), כך שיתקיים התנאי הבא:

  לכל מלבן שקודקודיו נמצאים על המסגרת וצלעותיו מקבילים לאלכסונים של הריבוע המקורי, סכום המספרים בקודקודים שווה לגודל קבוע. זה כולל גם את המלבנים "המנוונים" בעלי רוחב אפס שמתלכדים עם האלכסונים של הריבוע - במקרה הזה פשוט סוכמים את שני המספרים בקודקודים המנוגדים של הריבוע

  עבור:

  א. `N=3`

  ב. `N=4`

  ג. `N=5`

  

  נושאים:

  אלגברה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית תורת המספרים -> התחלקות