הוכחה ודוגמה

• שאלה: רמת קושי: 4

  נתונים שלושה מספרים ממשיים `a`, `b` ו-`c`. ידוע כי `a+b+c>0`, `ab+bc+ca>0` ו-`abc>0`. הוכיחו כי `a>0`, `b>0` ו-`c>0`.

  נושאים:

  אלגברה אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 4

  הארץ הקסומה מורכבת מ-`25` מחוזות. האם יתכן שכל מחוז גובל במספר אי זוגי של מחוזות אחרים?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> תורת הגרפים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 4

  נתונים שבעה מספרים שלמים `a_1,a_2,a_3,...,a_7`, ויהיו `b_1,b_2,b_3,...,b_7` אותם המספרים שרשומים בסדר אחר. הוכיחו כי המספר `(a_1-b_1)(a_2-b_2)*...*(a_7-b_7)` בהכרח זוגי.

  נושאים:

  תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 3

  ל-`21` ילדים יש סך הכל `200` אגוזים. הוכיחו כי קיימים שני ילדים שיש להם אותה כמות של אגוזים.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה: רמת קושי: 3

  בכיתה לומדים `30` תלמידים. במהלך מבחן פנחס עשה `13` טעויות, והשאר עשו פחות טעויות. הוכיחו שיש שלושה תלמידים שעשו כמויות זהות של טעויות.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה: רמת קושי: 4

  המספרים מ-`1` עד `2n` רשומים בשורה בסדר כלשהו. מוסיפים לכל מספר את אינדקס המקום עליו הוא עומד. הוכיחו כי בין `2n` הסכומים שקיבלנו יש שניים שהפרש שלהם מתחלק ב-`2n`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 5

  ריבוע מחולק לכמה מצולעים קמורים (יותר מ-`1`), שלכל אחד מהם יש מספר שונה של צלעות. הוכיחו כי בין המצולעים האלה יש משולש.

  נושאים:

  קומבינטוריקה קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> תורת הגרפים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה: רמת קושי: 4

  האם ניתן לחתוך משולש לארבע צורות קמורות הבאות: משולש, מרובע, מחומש ומשושה?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה

• שאלה: רמת קושי: 3

  בארץ הקסומה יש `2017` ערים, וכל עיר מחוברת על ידי כבישים ישירים לפחות עם `1008` ערים אחרות. הוכיחו כי מכל עיר של הארץ הקסומה ניתן להגיע לכל עיר אחרת (לא בהכרח בדרך הישירה).

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת הגרפים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 2

  נתון דף נייר בגודל `10×10` ס"מ. האם תוכלו לגזור מהדף הזה מספר עיגולים שסכום הקטרים שלהם יהיה גדול מ-`5` מטרים?

  נושאים:

  אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה