הוכחה ודוגמה

• שאלה: רמת קושי: 2

  סכומם של כמה מספרים שווה ל-`1`. האם יתכן כי סכום הריבועים שלהם קטן מעשירית?

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אריתמטיקה -> שברים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• המשימה המתוחכמת רמת קושי: 2

  לחנה יש סלסלה בה `13` תפוחים. חנה רוצה לדעת את המשקל הכולל של כל התפוחים האלה. לרחל יש משקל דיגיטלי, והיא מוכנה לעזור לחנה, אבל רק בתנאים הבאים: בכל שקילה חנה יכולה לשקול בדיוק `2` תפוחים, והמספר של השקילות לא יכול לעבור את `8`.

  הסבירו כיצד בתנאים האלה חנה יכולה לדעת את המשקל הכולל של התפוחים.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה אלגברה -> משוואות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה: רמת קושי: 1

  נתון פולינום `P(n)=n^2+n+41`. האם נכון שהפולינום הזה מקבל ערכים ראשוניים לכל `n` טבעי?

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה: רמת קושי: 2

  חרגול יודע לקפוץ `80` סנטימטרים קדימה או `50` סנטימטרים אחורה. האם יכול החרגול להתרחק מהנקודה ההתחלתית תוך פחות מ-`7` קפיצות  למרחק של מטר אחד ו-`70` ס"מ בדיוק?

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> משפט השאריות הסיני הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים

• שאלה: רמת קושי: 3

  האם קיים מרובע קמור שכל אחד מהאלכסונים שלו מחלק אותו לשני משולשים חדי זוויות?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 4

  הוכיחו כי אם `n!+1` מתחלק ב-`n+1`, אז `n+1` ראשוני.

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 3

  מספר פעמים ביממה מחוג השעות ומחוג הדקות נמצאים על ישר אחד ויוצרים זווית של `180^@`. האם בין כל הישרים האלה יש ישרים שמאונכים זה לזה?

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 4

  האם קיים מספר טבעי שאם נחלק אותו בסכום ספרותיו עם שארית, נקבל `2017` גם בתור מנה, גם בשארית?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• אורנים ביער רמת קושי: 2

  היַעֲרָן סופר אורנים ביער. הוא עשה הליכה לאורך כל אחד המעגלים שבתמונה, ובתוך כל מעגל הוא ספר `3` אורנים בדיוק. הוכיחו כי היערן בוודאות טעה בספירה.

  

  נושאים:

  תורת הקבוצות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 4

  במישור נתונים ריבוע ונקודה `P`. הוכיחו כי לא יתכן שהמרחקים מ-`P` עד הקודקוקים של הריבוע שווים `1`, `1`, `2` ו-`3` סנטימטרים?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון משולש