גאומטריה במישור

• שאלה: רמת קושי: 1

  נתונים שני ריבועים בעלי צלע של `3` סנטימטרים. מחברים אותם ביחד כך שמתקבל מלבן. למה שווה ההיקף של המלבן הזה?

  נושאים:

  אריתמטיקה גאומטריה -> גאומטריה במישור

• שאלה: רמת קושי: 4

  מצולע משוכלל בעל 4k צלעות מחולק למקביליות. הוכיחו שבין המקביליות האלו יש לפחות k מלבנים. מצאו את סכום שטחי כל המלבנים.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור

• שאלה: רמת קושי: 3

  האם קיים מרובע קמור שכל אחד מהאלכסונים שלו מחלק אותו לשני משולשים חדי זוויות?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה: רמת קושי: 4

  במישור נתונים ריבוע ונקודה `P`. הוכיחו כי לא יתכן שהמרחקים מ-`P` עד הקודקוקים של הריבוע שווים `1`, `1`, `2` ו-`3` סנטימטרים?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון משולש

• ערימת דפים רמת קושי: 4

  על השולחן נמצאים מספר דפי נייר זהים שצורתם מלבן. ידוע כי הדף העליון מכסה יותר מחצי שטח של כל דף אחר.  האם בהכרח ניתן לתקוע בשולחן הזה סיכה שתעבור דרך כל הדפים האלה?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה

• שאלה: רמת קושי: 4

  על הניצבים ועל היתר של משולש ישר זווית נבנו חצאי מעגלים, כמו שמתואר בציור. איזה שטח גדול יותר – השטח המקווקו או השטח המושחר?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס

• שאלה: רמת קושי: 4

  משולש שרירותי מעבירים משיקים למעגל החסום, במקביל לצלעות המשולש. המשיקים האלה חותכים מהמשולש המקורי שלושה משולשים קטנים. הוכיחו כי סכום הרדיוסים של המעגלים החסומים במשולשים האלה שווה לרדיוס המעגל החסום במשולש המקורי.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים -> משיק למעגל גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> דמיון משולשים

• שאלה: רמת קושי: 2

  בציור חצי מעגל, שחסומים בתוכו שלושה מעגלים: המעגל הגדול, שמשיק לקוטר של חצי המעגל במרכזו, ושני מעגלים קטנים בצדדים, בצורה סימטרית. איזה שטח גדול יותר: השטח המקווקו או השטח הריק?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים

• שאלה: רמת קושי: 3

  חתכו ריבוע לשלושה חלקים, ואז הרכיבו מהם משולש חד-זווית שכל צלעותיו שונות.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה

• שאלה:

  מישור נצבע בשני צבעים (כלומר, כל נקודת המישור נצבעה באחת משני הצבעים האלה). הוכיחו כי קיימות שתי נקודות במישור במרחק `1` כך ששתיהן באותו צבע.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה