אינווריאנטים

• האביר והדרקון רמת קושי: 2

  אביר פגש בדרכו דרקון בעל שלושה ראשים, והם התחילו קרב. כל פעם כשהאביר עורף ראש לדרקון, מופיעים במקומו שלושה ראשים חדשים. האם יתכן שבסוף הקרב נהיה לדרקון אלף ראשים?

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות

• עלי באבא וארבעים השודדים רמת קושי: 3

  עלי באבא רשם על הדף מספר `17`. ארבעים השודדים מעבירים את הדף זה לזה וכל אחד או מוסיף `1` למספר הקיים, או מחסיר `1`, עד שכל אחד מהם ביצע זאת פעם אחד, ואז מחזירים את הדף לעלי באבא.

  האם יתכן שעכשיו על הדף רשום מספר `40`?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• משחק עם שוקולד רמת קושי: 3

  יוסי ודני משחקים במשחק הבא. יש להם חפיסת שוקולד בגודל `5xx7` משבצות, שמונחת על שולחן. כל אחד בתורו שובר את אחת מחתיכות השוקולד שיש על השולחן לפי קו ישר ומחזיר את החתיכות שנוצרו לשולחן. כלומר, בתור ראשון שוברים את השוקולד המקורי, ובתורות הבאים בוחרים חתיכה אחת מתוך החתיכות שנוצרו עד אז ושוברים אותה. אפשר לשבור רק לפי קווים של משבצות, וכל שבר הוא מקצה לקצה. מפסיד מי שלא יכול לעשות מהלך. מי שמנצח, אוכל את כל השוקולד.

  מי משניהם יכול להבטיח לעצמו ניצחון, אם יוסי עושה מהלך ראשון?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> תורת המשחקים

• משחק עם ערימות אבנים רמת קושי: 3

  שניים משחקים במשחק הבא. על השולחן נמצאות שלוש ערימות של אבנים. בערימה ראשונה יש `10` אבנים, בשנייה – `15`, בשלישית – `20`. כל אחד בתורו בוחר אחת הערימות שיש כרגע על השולחן ומחלק אותה לשתי ערימות קטנות יותר. מפסיד מי שלא מצליח לעשות מהלך.

  למי משני השחקנים יש אסטרטגיה מנצחת, ומהי?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> תורת המשחקים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה: רמת קושי: 3

  פרש שח יצא מהמשבצת `a1`, ותוך מספר מהלכים חזר לאותה המשבצת.

  האם יתכן שהפרש ביצע מספר אי-זוגי של מהלכים?

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות

• שאלה: רמת קושי: 3

  פרש שח יצא מהמשבצת `a1` והגיע למשבצת `h8`. האם יתכן שבדרך הוא ביקר בכל משבצות הלוח בדיוק פעם אחת?

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות

• חלב וקפה רמת קושי: 3

  א. לחנה יש שתי כוסות, אחת עם חלב שנייה עם קפה. הכמויות של החלב והקפה זהות. חנה מעבירה שתי כפיות של חלב לתוך כוס עם קפה, מערבבת, ואז מעבירה שתי כפיות מכוס של קפה לתוך החלב. כרגע יש לה שתי כוסות שבכל אחת מהן יש תערובת של קפה וחלב. מה יש יותר – חלב בתוך כוס של קפה או קפה בתוך כוס של חלב?

  ב. אותה השאלה, אבל הפעם חנה מוסיפה חלב לתוך הקפה ללא ערבוב.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים לוגיקה -> הגיון

• שאלה: רמת קושי: 3

  על הלוח כתובים המספרים: `1, 2, 3, …, 2016, 2017`. תוך מהלך אחד מותר לבחור זוג מספרים שכתובים על הלוח, למחוק אותם ולרשום במקומם את ההפרש שלהם (החיובי). אחרי מספר פעולות כאלו נשאר על הלוח מספר בודד. האם יתכן שזה אפס?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות

• שאלה: רמת קושי: 2

  לאורך הרחוב ממוקמים `6` עצים. יום אחד הגיעו `6` תוכים והתיישבו על העצים, תוכי אחד על כל עץ. מידי פעם שני תוכים עוברים כל אחד לעץ סמוך לבחירתו. האם יוכלו התוכים להתכנס כולם על אותו עץ?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות