קומבינטוריקה

• שאלה: רמת קושי: 3

  הוכיחו כי קיימות שתי חזקות של `2` שהפרש שלהן מתחלק ב-`2017`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה: רמת קושי: 3

  על מעגל מסומנות `2016` נקודות כחולות ונקודה אדומה אחת. נתבונן בכל המצולעים האפשריים בעלי קודקודים בנקודות האלו. איזה מצולעים יש יותר – כאלה שמכילים את הנקודה האדומה או כאלה שכל הקודקודים שלהם כחולים?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> התאמות
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• המשימה המתוחכמת רמת קושי: 2

  לחנה יש סלסלה בה `13` תפוחים. חנה רוצה לדעת את המשקל הכולל של כל התפוחים האלה. לרחל יש משקל דיגיטלי, והיא מוכנה לעזור לחנה, אבל רק בתנאים הבאים: בכל שקילה חנה יכולה לשקול בדיוק `2` תפוחים, והמספר של השקילות לא יכול לעבור את `8`.

  הסבירו כיצד בתנאים האלה חנה יכולה לדעת את המשקל הכולל של התפוחים.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה אלגברה -> משוואות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• משחק עם שוקולד רמת קושי: 3

  יוסי ודני משחקים במשחק הבא. יש להם חפיסת שוקולד בגודל `5xx7` משבצות, שמונחת על שולחן. כל אחד בתורו שובר את אחת מחתיכות השוקולד שיש על השולחן לפי קו ישר ומחזיר את החתיכות שנוצרו לשולחן. כלומר, בתור ראשון שוברים את השוקולד המקורי, ובתורות הבאים בוחרים חתיכה אחת מתוך החתיכות שנוצרו עד אז ושוברים אותה. אפשר לשבור רק לפי קווים של משבצות, וכל שבר הוא מקצה לקצה. מפסיד מי שלא יכול לעשות מהלך. מי שמנצח, אוכל את כל השוקולד.

  מי משניהם יכול להבטיח לעצמו ניצחון, אם יוסי עושה מהלך ראשון?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> תורת המשחקים

• משחק עם ערימות אבנים רמת קושי: 3

  שניים משחקים במשחק הבא. על השולחן נמצאות שלוש ערימות של אבנים. בערימה ראשונה יש `10` אבנים, בשנייה – `15`, בשלישית – `20`. כל אחד בתורו בוחר אחת הערימות שיש כרגע על השולחן ומחלק אותה לשתי ערימות קטנות יותר. מפסיד מי שלא מצליח לעשות מהלך.

  למי משני השחקנים יש אסטרטגיה מנצחת, ומהי?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> תורת המשחקים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה: רמת קושי: 3

  פרש שח יצא מהמשבצת `a1`, ותוך מספר מהלכים חזר לאותה המשבצת.

  האם יתכן שהפרש ביצע מספר אי-זוגי של מהלכים?

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות

• שאלה: רמת קושי: 3

  פרש שח יצא מהמשבצת `a1` והגיע למשבצת `h8`. האם יתכן שבדרך הוא ביקר בכל משבצות הלוח בדיוק פעם אחת?

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות

• שאלה: רמת קושי: 1

  נתון לוח בגודל `M×N`, ובכל משבצות הלוח כתובים מספרים ממשיים. ידוע כי הסכומים בכל שורה ובכל עמודה של הלוח שווים ל-`1`.

  הוכיחו כי `M = N`.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה

• שאלה: רמת קושי: 3

  כל בן אדם שחי אי פעם בכדור ארץ, ביצע מספר מסוים של לחיצות ידיים (כולל 0). הוכיחו כי כמות האנשים שביצעו מספרים אי-זוגיים של לחיצות ידיים – זוגית.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> תורת הגרפים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות

• שאלה: רמת קושי: 3

  בקודקודים של קובייה רשומים המספרים `1`, `2`, `3`, ..., `8`. הוכיחו כי קיים מקצוע של הקובייה שההפרש בין המספרים שעומדים בקצותיו לפחות `3`.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> תורת הגרפים לוגיקה -> הגיון