קומבינטוריקה

• שאלה: רמת קושי: 2

  קניבל לכד `6` אנשים.

  א. בכמה דרכים שונות הוא יכול לבחור בן אדם אחד לארוחת בוקר, בן אדם אחד לארוחת צהריים ובן אדם אחד לארוחת ערב?

  ב.בכמה דרכים שונות הוא יכול לבחור שלושה בני אדם כדי לשחרר אותם?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> מקדמים בינומיים ומשולש פסקל קומבינטוריקה -> כלל המכפלה

• שאלה: רמת קושי: 2

  בכיתה `30` תלמידים. כל אחד מהם רשאי לצאת לטיול שנתי או להישאר בבית. מהו המספר של הרכבים אפשריים ליציאה לטיול?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> כלל המכפלה

• שאלה: רמת קושי: 2

  נתונים `11` מספרים בין `1` ל-`99`. הוכיחו כי יש בינם שניים שהפרש בינם קטן ממש מ-`10`.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים

• שאלה: רמת קושי: 2

  לאורך הרחוב ממוקמים `6` עצים. יום אחד הגיעו `6` תוכים והתיישבו על העצים, תוכי אחד על כל עץ. מידי פעם שני תוכים עוברים כל אחד לעץ סמוך לבחירתו. האם יוכלו התוכים להתכנס כולם על אותו עץ?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות

• שאלה: רמת קושי: 3

  המספרים `1`, `2`, `3`, ..., `9` מחלוקים ל-`3` קבוצות. הוכיחו כי ישנה קבוצה בה מכפלת המספרים גדולה או שווה ל-`72`.

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים

• שאלה: רמת קושי: 2

  בתרגיל חשבון הבא ספרות שונות הוחלפו על ידי אותיות שונות, וספרות זהות – על די אותיות זהות. שחזרו את התרגיל:

  `BAOxxBAxxB=2002`

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים

• שאלה: רמת קושי: 2

  נתונים `50` מספרים טבעיים שונים בין `1` ל-`100`. ידוע כי אין בינם שני מספרים שסכומם שווה ל-`100`. האם נכון שאחד מהמספרים האלה חייב להיות ריבוע שלם?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> התאמות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת הקבוצות

• שאלה: רמת קושי: 4

  ברשותו של שלומי לוח שחמט וקובייה שגודל הפאה שלה הוא כמו גודל של משבצת הלוח. שלומי רוצה לצבוע את פאות הקובייה בשחור ולבן, ואז לגלגל את הקובייה על פני הלוח כך שכל פעם הפאה שנוגעת בלוח תהיה באותו הצבע כמו המשבצת בה היא נוגעת. הקובייה אמורה לעבור בכל משבצת בלוח בדיוק פעם אחת. האם שלומי יוכל לעשות זאת? נמקו או הביאו דוגמה.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת הגרפים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט

• האם לכל הסוסים יש אותו צבע? רמת קושי: 4

  שלומי טוען כי הוא הוכיח באמצעות אינדוקציה שבכל עדר כל הסוסים באותו צבע:

  אם יש סוס אחד, אז הוא בצבע של עצמו - כך הראנו כי בסיס אינדוקציה מתקיים.

  בשביל מעבר אינדוקציה, נמספר את הסוסים מ-`1` עד `n`. לפי הנחת אינדוקציה, הסוסים שמספרם מ-`1` עד `n-1`, כולם באותו צבע. באופן דומה, הסוסים שמספרם מ-`2` עד `n`, גם הם כולם באותו צבע. ובגלל שהצבעים של הסוסים מ-`2` עד `n-1`  הינם קבועים ולא יכולים להשתנות בהתאם לאיך ששייכנו אותם לקבוצה זו או אחרת, אז גם הסוסים ה-`1`  וה-`n` חייבים להיות באותו הצבע.

  האם שלומי ביצע טעות במהלך ההוכחה שלו? אם כן, מצאו את הטעות.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינדוקציה לוגיקה -> הגיון לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• באובב רמת קושי: 3

  בתרגיל הבא ספרות זהות הוחלפו באותיות זהות, וספרות שונות הוחלפו בספרות שונות. שחזרו את התרגיל.

  `BAOxxBAxxB = 2002`

   

   

   

   

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל