התחלקות
-
שאלה: רמת קושי: 3
פרש שח יצא מהמשבצת `a1` והגיע למשבצת `h8`. האם יתכן שבדרך הוא ביקר בכל משבצות הלוח בדיוק פעם אחת?
-
שאלה: רמת קושי: 3
כל בן אדם שחי אי פעם בכדור ארץ, ביצע מספר מסוים של לחיצות ידיים (כולל 0). הוכיחו כי כמות האנשים שביצעו מספרים אי-זוגיים של לחיצות ידיים – זוגית.
-
שאלה: רמת קושי: 4
הארץ הקסומה מורכבת מ-`25` מחוזות. האם יתכן שכל מחוז גובל במספר אי זוגי של מחוזות אחרים?
נושאים:קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> תורת הגרפים תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה -
שאלה: רמת קושי: 4
נתונים שבעה מספרים שלמים `a_1,a_2,a_3,...,a_7`, ויהיו `b_1,b_2,b_3,...,b_7` אותם המספרים שרשומים בסדר אחר. הוכיחו כי המספר `(a_1-b_1)(a_2-b_2)*...*(a_7-b_7)` בהכרח זוגי.
-
שאלה: רמת קושי: 3
מלוח שחמט גוזרים שתי פינות מנוגדות (השדות `a1` ו-`h8`, למשל). האם תוכלו לרצף את הלוח שנשאר על ידי אבני דומינו?
נושאים:קומבינטוריקה -> התאמות תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט -
שאלה: רמת קושי: 1
הוכיחו כי מכפלה של שני מספרים עוקבים תמיד זוגית.
נושאים:תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות -
שאלה: רמת קושי: 3
על הלוח כתובים המספרים: `1, 2, 3, …, 2016, 2017`. תוך מהלך אחד מותר לבחור זוג מספרים שכתובים על הלוח, למחוק אותם ולרשום במקומם את ההפרש שלהם (החיובי). אחרי מספר פעולות כאלו נשאר על הלוח מספר בודד. האם יתכן שזה אפס?
-
S_05_S_Y_3 רמת קושי: 4
על דף משבצות נתון ריבוע בגודל `NxxN`. נתבנן במסגרת שלו בעובי של משבצת אחת. היא מורכבת מ-`4*(N-1)` משבצות.
האם תוכלו לרשום במשבצות של המסגרת `4*(N-1)` מספרים שלמים עוקבים (לא בהכרח חיוביים), כך שיתקיים התנאי הבא:
לכל מלבן שקודקודיו נמצאים על המסגרת וצלעותיו מקבילים לאלכסונים של הריבוע המקורי, סכום המספרים בקודקודים שווה לגודל קבוע. זה כולל גם את המלבנים "המנוונים" בעלי רוחב אפס שמתלכדים עם האלכסונים של הריבוע - במקרה הזה פשוט סוכמים את שני המספרים בקודקודים המנוגדים של הריבוע
עבור:
א. `N=3`
ב. `N=4`
ג. `N=5`
-
שאלה: רמת קושי: 1
א. ברשותכם קנקן גדול של שמן זית של 12 ליטרים ושני ריקים כלים קטנים יותר, של 5 ושל 8 ליטרים. האם תוכלו לחלק את השמן שברשותכם לשני חלקים שווים, אם יש לכם רק את הכלים האלה ואין שום כלי מדידה נוספים?
ב. אותה השאלה, אבל במקום הכל של 5 ליטרים יש כלי של 4 ליטרים.
-
שאלה: רמת קושי: 2
הוכיחו כי לא ניתן לחתוך את הצורה הנתונה לאבני דומינו:
נושאים:קומבינטוריקה -> התאמות תורת המספרים -> התחלקות -> זוגיות הוכחה ודוגמה קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה