תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט תרגיל 3

  • שאלה: 1 רמת קושי: 3

    המספרים a,b,c שונים מ-0, והמספרים ab,ac,bc רציונליים.

    א. הראו כי`a^2+b^2+c^2` מספר רציונלי.

    ב. הראו שאם `a^3+b^3+c^3` מספר רציונלי, אז `a+b+c` מספר רציונלי.

    נושאים:
    תורת המספרים
  • שאלה: 2 רמת קושי: 5

    הראו כי ב504 הספרות הימניות של `1+50+50^2+...+50^1000`

    מופיעה כל ספרה בכמות שמתחלקת ב 12 פעמים

  • שאלה: 3 רמת קושי: 4

    נתון a,b,c מספרים רציונליים שונים הוכיחו כי `sqrt{1/(a-b)^2+1/(b-c)^2 +1 /(c-a)^2}`

    רציונלי

    נושאים:
    תורת המספרים
  • שאלה: 4 רמת קושי: 6

    נתונים מספרים טבעיים m,n כך ש`m/n <= sqrt 23` הוכיחו כי `m/n+3/{mn} <= sqrt 23`

    נושאים:
    תורת המספרים
  • שאלה: 6 רמת קושי: 7

    האם יש פתרון בטבעיים למשוואה `x^2 + 12 = y^3` כך ש

    א. x זוגי (קל יותר)

    ב. x אי זוגי

  • שאלה: 5 רמת קושי: 9

    נתונים n,a,b טבעיים ככה ש`3n+1=a^2` וגם `4n+1=b^2` הוכיחו כי

    א. n מתחלק ב 8 (קל יותר)

    ב. n מתחלק ב 56