תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט
-
שאלה: רמת קושי: 5
מספרים חיוביים a,b,c,d מקיימים `a^3 + b^3 +c ^3 + d^3 >= 3` וגם `a^5 + b^5 +c ^5 + d^5 <= 5`
הוכיחו כי`a + b +c + d >= 3 / 2`
-
שאלה: רמת קושי: 7
צלעות המשולש a,b,c ואורכי התיכונים המתאימים הם `m_a , m_b, m_c` הראו כי
`sum_{cyc} m_a / a >= {3( m_a + m_b + m_c)} /{a + b + c}`
-
שאלה: רמת קושי: 6
לכל `a,b,c >=1 ` שמקיימים `a+b+c= 2abc `
הוכח כי `root (3) ((a+b+c)^2) >= sum_{cyc} root (3) (ab-1) `
נושאים:אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים -
תרגיל 3 שאלה: 1 רמת קושי: 3
המספרים a,b,c שונים מ-0, והמספרים ab,ac,bc רציונליים.
א. הראו כי`a^2+b^2+c^2` מספר רציונלי.
ב. הראו שאם `a^3+b^3+c^3` מספר רציונלי, אז `a+b+c` מספר רציונלי.
נושאים:תורת המספרים -
תרגיל 3 שאלה: 2 רמת קושי: 5
הראו כי ב504 הספרות הימניות של `1+50+50^2+...+50^1000`
מופיעה כל ספרה בכמות שמתחלקת ב 12 פעמים
נושאים:אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים -
תרגיל 3 שאלה: 3 רמת קושי: 4
נתון a,b,c מספרים רציונליים שונים הוכיחו כי `sqrt{1/(a-b)^2+1/(b-c)^2 +1 /(c-a)^2}`
רציונלי
נושאים:תורת המספרים -
תרגיל 3 שאלה: 4 רמת קושי: 6
נתונים מספרים טבעיים m,n כך ש`m/n <= sqrt 23` הוכיחו כי `m/n+3/{mn} <= sqrt 23`
נושאים:תורת המספרים -
תרגיל 3 שאלה: 6 רמת קושי: 7
האם יש פתרון בטבעיים למשוואה `x^2 + 12 = y^3` כך ש
א. x זוגי (קל יותר)
ב. x אי זוגי
-
תרגיל 3 שאלה: 5 רמת קושי: 9
נתונים n,a,b טבעיים ככה ש`3n+1=a^2` וגם `4n+1=b^2` הוכיחו כי
א. n מתחלק ב 8 (קל יותר)
ב. n מתחלק ב 56
-
תרגיל 4 שאלה: 1 רמת קושי: 3
.המישור חולק על ידי n ישרים ומעגלים,
הוכיחו כי את המפה שהתקבלה ניתן לצבוע בשני צבעים כך ששני חלקים שכנים (נפרדים על ידי קטע או קשת) נצבעים בצבעים שונים.