תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט

• שאלה: רמת קושי: 5

  מספרים חיוביים a,b,c,d מקיימים `a^3 + b^3 +c ^3 + d^3 >= 3` וגם `a^5 + b^5 +c ^5 + d^5 <= 5`

  הוכיחו כי`a + b +c + d >= 3 / 2`

   

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט תרגיל 1

• שאלה: רמת קושי: 7

  צלעות המשולש a,b,c ואורכי התיכונים המתאימים הם `m_a , m_b, m_c` הראו כי

  `sum_{cyc} m_a / a >= {3( m_a + m_b + m_c)} /{a + b + c}`

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה אלגברה -> אי שוויונים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט תרגיל 1

• שאלה: רמת קושי: 6

  לכל `a,b,c >=1 ` שמקיימים `a+b+c= 2abc `

  הוכח כי `root (3) ((a+b+c)^2) >= sum_{cyc} root (3) (ab-1) `

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט תרגיל 1

• תרגיל 3 שאלה: 1 רמת קושי: 3

  המספרים a,b,c שונים מ-0, והמספרים ab,ac,bc רציונליים.

  א. הראו כי`a^2+b^2+c^2` מספר רציונלי.

  ב. הראו שאם `a^3+b^3+c^3` מספר רציונלי, אז `a+b+c` מספר רציונלי.

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט תרגיל 3

• תרגיל 3 שאלה: 2 רמת קושי: 5

  הראו כי ב504 הספרות הימניות של `1+50+50^2+...+50^1000`

  מופיעה כל ספרה בכמות שמתחלקת ב 12 פעמים

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט תרגיל 3

• תרגיל 3 שאלה: 3 רמת קושי: 4

  נתון a,b,c מספרים רציונליים שונים הוכיחו כי `sqrt{1/(a-b)^2+1/(b-c)^2 +1 /(c-a)^2}`

  רציונלי

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט תרגיל 3

• תרגיל 3 שאלה: 4 רמת קושי: 6

  נתונים מספרים טבעיים m,n כך ש`m/n <= sqrt 23` הוכיחו כי `m/n+3/{mn} <= sqrt 23`

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט תרגיל 3

• תרגיל 3 שאלה: 6 רמת קושי: 7

  האם יש פתרון בטבעיים למשוואה `x^2 + 12 = y^3` כך ש

  א. x זוגי (קל יותר)

  ב. x אי זוגי

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט תרגיל 3

• תרגיל 3 שאלה: 5 רמת קושי: 9

  נתונים n,a,b טבעיים ככה ש`3n+1=a^2` וגם `4n+1=b^2` הוכיחו כי

  א. n מתחלק ב 8 (קל יותר)

  ב. n מתחלק ב 56

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים תורת המספרים -> חשבון השאריות
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט תרגיל 3

• תרגיל 4 שאלה: 1 רמת קושי: 3

  .המישור חולק על ידי n ישרים ומעגלים,

  הוכיחו כי את המפה שהתקבלה ניתן לצבוע בשני צבעים כך ששני חלקים שכנים (נפרדים על ידי קטע או קשת) נצבעים בצבעים שונים.

  הצג רמז

  התחבר לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינדוקציה גאומטריה -> גאומטריה במישור
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מהאתר תשע"ט תרגיל 4